ポアンカレ予想とはなんですか？？

わかりやすく説明して下さいm(_ _)mポアンカレ予想とはなんですか？？

わかりやすく説明して下さいm(_ _)m 「やわらかい幾何学」トポロジーは知ってますか？

二次元の曲面が連続的に変形して球面にできるなら（曲面が球面と同相なら），その曲面上にどんな閉曲線（ぐるっと一周閉じた曲線）を引いても，その閉曲線を連続的に変形して一点に縮めることができます。そしてこの逆も成り立ちます。すなわち，二次元の曲面上ににどんな閉曲線を引いても，その閉曲線を連続的に変形して一点に縮めることができるなら，その曲面は球面と同相です。

例えばドーナツの表面のような曲面は，球面と同相ではありません。一点に縮められない閉曲線（回収できない紐）があります。

これの次元を一つ上げた，「三次元の曲面上ににどんな閉曲線を引いても，その閉曲線を連続的に変形して一点に縮めることができるなら，その曲面は三次元球面と同相である」というのがポアンカレ予想です。さらに次元を上げた，「四次元の曲面上ににどんな閉曲線を引いても，その閉曲線を連続的に変形して一点に縮めることができるなら，その曲面は四次元球面と同相である」やさらにもっと次元を上げた予想は20世紀中に解決してたのですが，三次元が一番難しかったようです。

普通われわれが「曲面」と言うのは二次元球面です。三次元の曲面というのは，とてもイメージしにくいです。四次元空間からしかその全体像を見ることができないので。三次元球面も三次元の曲面ですが，これは四次元の球体の「表面」です。普通の球面が三次元の球体の表面であるのと同じです。なんとなくでも想像できるでしょうか？う～ん少しだけわかった気がします。